《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A版选修2-2【配套备课资源】第一章 1.1.1-1.1.2

§1.1 变化率与导数
1．1.1 变化率问题

1．1.2 导数的概念

一、基础过关

1． 一物体的运动方程是 s＝3＋t2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为 ( )

A．0.41

B．3

C．4

D．4.1

2． 函数 y＝1 在[2,2＋Δx]上的平均变化率是

()

A．0

B．1

C．2

D．Δx

3．

设函数 f(x)可导，则 lim Δx→0

f?1＋Δ3Δx?x－f?1?等于

()

A．f′(1)

B．3f′(1)

C.13f′(1)

D．f′(3)

4． 一质点按规律 s(t)＝2t3 运动，则 t＝1 时的瞬时速度为

()

A．4

B．6

C．24

D．48

5． 函数 y＝3x2 在 x＝1 处的导数为

()

A．12

B．6

C．3

D．2

6． 甲、乙两厂污水的排放量 W 与时间 t 的关系如图所示，治污效果较

好的是

()

A．甲

B．乙

C．相同

D．不确定

7． 函数 f(x)＝5－3x2 在区间[1,2]上的平均变化率为______．

二、能力提升

8． 过曲线 y＝f(x)＝x2＋1 上两点 P(1,2)和 Q(1＋Δx,2＋Δy)作曲线的割线，当 Δx＝0.1 时，

割线的斜率 k＝________.

9． 函数 f(x)＝x12＋2 在 x＝1 处的导数 f′(1)＝__________.

10．求函数 y＝－2x2＋5 在区间[2,2＋Δx]内的平均变化率．

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11．求函数 y＝f(x)＝2x2＋4x 在 x＝3 处的导数． 12．若函数 f(x)＝ax2＋c，且 f′(1)＝2，求 a 的值．

三、探究与拓展

13．若一物体运动方程如下：(位移单位：m，时间单位：s)

s＝?????329t2＋＋32?t－3?2

?t≥3? ?0≤t<3?

① ②

求：(1)物体在 t∈[3,5]内的平均速度；

(2)物体的初速度 v0； (3)物体在 t＝1 时的瞬时速度．

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答案
1．D 2．A 3．C 4．B 5．B 6．B 7．－9 8．2.1 9．－2 10．解 因为 Δy＝－2(2＋Δx)2＋5－(－2×22＋5)＝－8Δx－2(Δx)2，所以函数在区间[2,2＋Δx]

Δy －8Δx－2?Δx?2

内的平均变化率为Δx＝

Δx

＝－8－2Δx.

11．解 Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)

＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx，

∴ΔΔyx＝2?Δx?2Δ＋x 16Δx＝2Δx＋16.

∴y′|x＝3＝Δlixm→0

Δy Δx＝Δlixm→0

(2Δx＋16)

＝16.

12．解 ∵f(1＋Δx)－f(1)＝a(1＋Δx)2＋c－a－c

＝a(Δx)2＋2aΔx.

f?1＋Δx?－f?1?

∴f′(1)＝ lim Δx→0

Δx

a?Δx?2＋2aΔx

＝ lim Δx→0

Δx

＝ lim (aΔx＋2a)＝2，即 2a＝2， Δx→0
∴a＝1.

13．解 (1)∵物体在 t∈[3,5]内的时间变化量为

Δt＝5－3＝2，

物体在 t∈[3,5]内的位移变化量为

Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，

∴物体在 t∈[3,5]内的平均速度为 ΔΔst＝428＝24 (m/s)．
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(2)求物体的初速度 v0 即求物体在 t＝0 时的瞬时速度． ∵物体在 t＝0 附近的平均变化率为

ΔΔst＝f?0＋ΔΔt?t－f?0?

29＋3[?0＋Δt?－3]2－29－3?0－3?2

＝

Δt

＝3Δt－18，

∴物体在 t＝0 处的瞬时变化率为

Δs

lim
Δt→0

Δt

＝lim Δt→0

(3Δt－18)＝－18，

即物体的初速度为－18 m/s.

(3)物体在 t＝1 时的瞬时速度即为函数在 t＝1 处的瞬时变化率．

∵物体在 t＝1 附近的平均变化率为

ΔΔst＝f?1＋ΔΔt?t－f?1?

29＋3[?1＋Δt?－3]2－29－3?1－3?2

＝

Δt

＝3Δt－12.

∴物体在 t＝1 处的瞬时变化率为

Δs

lim
Δt→0

Δt

＝lim Δt→0

(3Δt－12)＝－12.

即物体在 t＝1 时的瞬时速度为－12 m/s.

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