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广州大学20062007数学分析第二学期试卷B

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学院领导 审批并签名 B卷 广州大学 2006-2007 学年第二学期试卷 课程 数学分析 考试形式(闭卷,考试) 姓名 六 21 总 分 100 评卷人 数学与信息科学学院 06 级 1~7 班 学号 题 号 分 数 评 分 一、填 空 题(每小题 3 分,共 15 分) 1.函数 f ( x) ? 3x5 ? 5x3 的极大值点 x0 ? _____。 一 15 二 15 三 24 四 11 五 14 2. 若 f ( x) 的一个原函数为 F ( x) ,则 f (3x ? 1) 的一个原函数为 。 3.利用定积分计算: lim( n ?? 1 2 3 ? 2? 2? 2 n n n ? n )? n2 。 。 时, 4. 计算无穷积分: ? ?? 0 x dx ? ___________________ 1 ? x4 5、若 lim n p an ? 1 ,则当且仅当 p 的取值范围为:____________ n ?? 级数? an收敛 。 n ?1 ? 二、单项选择题 (每小题 3 分 ,共 15 分) 1、对函数 F ( x) ? ? et dt ,则下列结论正确的是( 2 x 0 )。 A、 F ( x) ? 0( x ? 0) ; C、 F ( x)在(0,+?)上为凸的 ; B、 F ( x)为(0,+?)上减函数 ; D、 F ( x)在(0,+?)上为凹的 。 2、(区间套定理)若 ?[an , bn ]? 是一个区间套,则在实数系中存在唯一的一点 ? ,使得( A、 ? ? (an , bn ) ; C、 ? ? (an , bn ] ; ), n ? 1, 2, 。 B、 ? ?[an , bn ) ; D、 ? ?[an , bn ] 。 )。 3. f ( x) 为 (??, ??) 上连续函数,下列等式不成立的是( A、 ? f ( x)dx ? ? f (t )dt ; 0 x B、 C、 d 0 f (t )dt ? ? f ( x) ; dx ? x ? d x f (t )dt ? f ( x ) ; dx ? 0 d 1 D、 ? f (t ) dt ? 0 。 dx 0 4、函数 f ( x) ? ? (ln x)n 的定义域为( n ?0 )。 A、 [e?1 , e] ; C、 [?1,1] ; 5、 f n ( x) ? sin n ?? B、 (e?1 , e) ; D、 (?1,1) 。 )。 x ,则下列结论不正确的是( n A、 lim f n ( x) ? 0, x ? ( ??, ??) ; B、 sup x?(0, ?? ) ?f n ( x) ? ? 1 ; C、 ? fn ( x)? 在(0, ??) 上一致收敛 ; D、 ? fn ( x)? 在(0, ??) 上不一致收敛。 三、计算题(共 24 分,每小题均为 6 分) 1、求极限: ? lim x ?0 x 0 sin t 2 dt x3 2、计算不定积分: ? x2 1? x 2 dx 3 、 计算积分: ? 1 0 arctan xdx 4 、求幂级数 ? (n ? 1)x n ?0 ? n 的收敛半径与收敛域,并求其和函数。 四、判断收敛性 (共 11 分 ) ?? 1 1. 判断无穷积分 ? x ? x2 dx 的收敛性,其中 n 为取定的实数(5 分)。 1 ? xn 2. 判断级数 ? (?1) n 的绝对收敛与条件收敛性。(6 分) 2 n ?1 n ? 1 ? 五、应用题 (每小题 7 分,共 14 分) 1、如图,拟围一个封闭的有一道内隔墙的矩形牧场,其中外墙与内隔墙 均用相同材料制成。已知牧场总面积为 300 *方米,问牧场宽 x 为多 少时,所用的材料最省(即围墙的总长最短)。 x 2、利用旋转体体积的计算, 推导出半径为 r 的球体的体积公式公式。 (需 有设定函数,代入旋转体体积公式以及计算定积分等过程) 六、证明题 (每小题 7 分,共 21 分) 1、设 f 是 (??, ??) 上连续的奇函数,证明:函数族 F ( x) ? 都是偶函数。 ? x 0 f (t )dt ? C n? 2、利用级数收敛的必要条件,证明: lim n ? 0(其中 ? 为取定的实数)。 n ?? 2 3、 证明: 函数 f ( x) ? ? cos(nx) 在 (??, ??) 上连续, 且有连续的导函数。 n! n ?1 ?


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