2018-2019学年高中数学人教A版选修2-3检测：课时跟踪检测(十四) 离散型随机变量的均值

课时跟踪检测（十四） 离散型随机变量的均值

层级一 学业水平达标

1．已知某一随机变量 X 的分布列如下表所示，若 E(X)＝6.3，则 a 的值为( )

Xa 7

9

P b 0.1 0.4

A．4

B．5

C．6

D．7

解析：选 A 根据随机变量 X 的分布列可知 b＋0.1＋0.4＝1，所以 b＝0.5.

又 E(X)＝ab＋7×0.1＋9×0.4＝6.3，所以 a＝4.

2．设随机变量 X 的分布列如下表，且 E(X)＝1.6，则 a－b 等于( )

X 0 12 3 P 0.1 a b 0.1

A.0.2

B．0.1

C．－0.2

D．－0.4

解析：选 C 由 0.1＋a＋b＋0.1＝1，得 a＋b＝0.8.

又由 E(X)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6，

得 a＋2b＝1.3，

解得 a＝0.3，b＝0.5，则 a－b＝－0.2.

3．某射击运动员在比赛中每次击中 10 环得 1 分，击不中 10 环得 0 分．已知他击中 10

环的概率为 0.8，则射击一次得分 X 的期望是( )

A．0.2

B．0.8

C．1

D．0

解析：选 B 因为 P(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2，所以 E(X)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8.

4．某一供电网络，有 n 个用电单位，每个单位在一天中使用电的机会是 p，供电网络

中一天平均用电的单位个数是( )

A．np(1－p)

B．np

C．n

D．p(1－p)

解析：选 B 依题意知，用电单位个数 X～B(n，p)，

∴E(X)＝np.

5．有 10 件产品，其中 3 件是次品，从中任取 2 件，用 X 表示取到次品的个数，则 E(X)

等于( )

A．35

B．185

C．1145

D．1

解析：选 A X 的可能取值为 0,1,2，P(X＝0)＝CC21270＝175，P(X＝1)＝CC17C21013＝175， P(X＝2)＝CC21230＝115.

所以 E(X)＝1×175＋2×115＝35.

6．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为 0.6，现有 4 颗子弹，

命中后的剩余子弹数目 X 的数学期望为________．

解析：X 的可能取值为 3,2,1,0，

P(X＝3)＝0.6；P(X＝2)＝0.4×0.6＝0.24；

P(X＝1)＝0.42×0.6＝0.096；

P(X＝0)＝0.43＝0.064.

所以 E(X)＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064＝2.376.

答案：2.376

7．某商场举行抽奖促销活动，抽奖的规则是：从装有 9 个白球、1 个红球的箱子中每

次随机地摸出 1 个球，记下颜色后放回，摸出 1 个红球可获得奖金 10 元；摸出 2 个红球可

获得奖金 50 元．现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸 1 次，乙摸 2 次．令 X 表示甲、乙两人

摸球后获得的奖金总额，则 X 的数学期望是________．

解析：X 的所有可能的取值为 0,10,20,50,60.

P(X＝0)＝??190??3＝1702090，

P(X＝10)＝110×??190??2＋190×2×110×190＝1204030，

P(X＝20)＝110×2×110×190＝1 10800，

P(X＝50)＝190×1102＝1

0900，P(X＝60)＝1103＝1

1 000.

所以 E(X)＝0×1702090＋10×1204030＋20×1 10800＋50×1 0900＋60×1 0100＝3.3.

答案：3.3

8．某次考试中，第一大题由 12 个选择题组成，每题选对得 5 分，不选或错选得 0 分．小

王选对每题的概率为 0.8，则其第一大题得分的均值为________．

解析：设小王选对的个数为 X，得分为 Y＝5X，

则 X～B(12,0.8)，E(X)＝np＝12×0.8＝9.6，

E(Y)＝E(5X)＝5E(X)＝5×9.6＝48.

答案：48

9．盒中装有 5 节同品牌的五号电池，其中混有 2 节废电池，现在无放回地每次取一节

电池检验，直到取到好电池为止．

求：(1)抽取次数 X 的分布列；

(2)平均抽取多少次可取到好电池．

解：(1)由题意知，X 取值为 1,2,3.

P(X＝1)＝35；

P(X＝2)＝25×34＝130；

P(X＝3)＝25×14＝110.

所以 X 的分布列为

X1

2

3

P

3 5

3 10

1 10

(2)E(X)＝1×35＋2×130＋3×110＝1.5，

即平均抽取 1.5 次可取到好电池．

10．某小组共 10 人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为 1,2,3 的人数

分别为 3,3,4.现从这 10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会．

(1)设 A 为事件“选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4”，求事件 A 发生的概率；

(2)设 X 为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 X 的分布列和数学

期望．

解：(1)由已知，有 P(A)＝C13CC14＋ 210 C32＝13. 所以事件 A 发生的概率为13.

(2)随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2. P(X＝0)＝C23＋CC21230＋C24＝145， P(X＝1)＝C13C13C＋210C13C41＝175， P(X＝2)＝CC13C21014＝145. 所以随机变量 X 的分布列为

X0

1

2

P

4 15

7 15

4 15

随机变量 X 的数学期望

E(X)＝0×145＋1×175＋2×145＝1.

层级二 应试能力达标

1.已知随机变量 X 的分布列为 X －1 0 1

P

1 2

1 3

m

若 Y＝aX＋3，E(Y)＝73，则 a＝( )

A．1

B．2

C．3

D．4

解析：选 B 由分布列的性质得12＋13＋m＝1，

∴m＝16.

∴E(X)＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13.

∴E(Y)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－13a＋3＝73，

∴a＝2.

2．甲、乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行学习，设两人所选课程相同的门

数为 X，则 E(X)＝( )

A．1

B．1.5

C．2

D．2.5

解析：选 B 易知 X 的可能取值为 0,1,2,3，

则 P(X＝0)＝CC6633××CC3633＝210， P(X＝1)＝C16C×36C×25C×36C23＝290，

P(X＝2)＝C26C×36C×14C×36C13＝290， P(X＝3)＝C36C×36C36＝210，

故 E(X)＝0×210＋1×290＋2×290＋3×210＝1.5.

3．设口袋中有黑球、白球共 7 个，从中任取 2 个球，已知取到白球个数的数学期望值

为67，则口袋中白球的个数为( )

A．3

B．4

C．5

D．2

解析：选 A 设白球 x 个，则黑球 7－x 个，取出的 2 个球中所含白球个数为 X，则 X

取值 0，1，2， P(X＝0)＝CC27－27 x＝?7－x4??26－x?， P(X＝1)＝C1x·CC2717－x＝x?72－1 x?， P(X＝2)＝CC2x27＝x?x4－2 1?， ∴0×?7－x4?2?6－x?＋1×x?72－1 x?＋2×x?x4－2 1?＝67，解得 x＝3.

4．船队若出海后天气好，可获利 5 000 元；若出海后天气坏，将损失 2 000 元；若不

出海也要损失 1 000 元．根据预测知天气好的概率为 0.6，则出海效益的均值是( )

A．2 000 元

B．2 200 元

C．2 400 元

D．2 600 元

解析：选 B 出海效益的均值为

EX＝5 000×0.6＋(1－0.6)×(－2 000)＝3 000－800＝2 200 元．

5．设 p 为非负实数，随机变量 X 的概率分布为：

X

0

12

P

12－p

p

1 2

则 E(X)的最大值为________．

解析：由表可得???0≤21－p≤1， ??0≤p≤1，

从而得 p∈??0，12??，

期望值 E(X)＝0×??12－p??＋1×p＋2×12＝p＋1，当且仅当 p＝12时，E(X)最大值＝32.
答案：32

6．节日期间，某种鲜花的进价是每束 2.5 元，售价是每束 5 元，节后对没有卖出的鲜 花以每束 1.6 元处理．根据前 5 年节日期间对这种鲜花需求量 X(束)的统计(如下表)，若进 这种鲜花 500 束在今年节日期间销售，则利润的均值是________元.

X 200 300 400 500 P 0.20 0.35 0.30 0.15

解析：节日期间这种鲜花需求量的均值为

E(X)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340(束)．

设利润为 Y，则 Y＝5X＋1.6×(500－X)－500×2.5＝3.4X－450，

所以 E(Y)＝3.4E(X)－450＝3.4×340－450＝706(元)．

答案：706

7．端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有 10 个粽子，其中豆沙粽 2 个，肉

粽 3 个，白粽 5 个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取 3 个．

(1)求三种粽子各取到 1 个的概率；

(2)设 X 表示取到的豆沙粽个数，求 X 的分布列与数学期望．

解：(1)令 A 表示事件“三种粽子各取到 1 个”， 则由古典概型的概率计算公式有 P(A)＝C12CC31130C51＝14. (2)X 的所有可能值为 0,1,2，且 P(X＝0)＝CC31380＝175，P(X＝1)＝CC12C31028＝175， P(X＝2)＝CC22C31018＝115. 综上知，X 的分布列为

X0

1

2

P

7 15

7 15

1 15

故 E(X)＝0×175＋1×175＋2×115＝35(个)．

8．某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会，拟邀请 20 名来自本校机械 工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加，各学院邀请的学生数如下表所示：

学院 人数

机械工程学院 4

海洋学院 6

医学院 4

经济学院 6

(1)从这 20 名学生中随机选出 3 名学生发言，求这 3 名学生中任意两个均不属于同一学

院的概率；

(2)从这 20 名学生中随机选出 3 名学生发言，设来自医学院的学生数为 X，求随机变量

X 的分布列和数学期望． 解：(1)从 20 名学生随机选出 3 名的方法数为 C320，选出 3 人中任意两个均不属于同一
学院的方法数为 C14C61C14＋C14C16C16＋C14C14C16＋C16C14C61＝480， 所以 P＝4C83200＝189. (2)X 可能的取值为 0,1,2,3. P(X＝0)＝CC313260＝2587， P(X＝1)＝CC21632C0 14＝189， P(X＝2)＝CC11632C0 24＝985， P(X＝3)＝CC32340＝2185. 所以 X 的分布列为

X0

1

2

3

P

28 57

8 19

8 95

1 285

所以 E(X)＝5278×0＋189×1＋985×2＋2185×3＝5975.