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2018-2019学年高中数学人教A版选修2-3检测:课时跟踪检测(十四) 离散型随机变量的均值


课时跟踪检测(十四) 离散型随机变量的均值

层级一 学业水平达标

1.已知某一随机变量 X 的分布列如下表所示,若 E(X)=6.3,则 a 的值为( )

Xa 7

9

P b 0.1 0.4

A.4

B.5

C.6

D.7

解析:选 A 根据随机变量 X 的分布列可知 b+0.1+0.4=1,所以 b=0.5.

又 E(X)=ab+7×0.1+9×0.4=6.3,所以 a=4.

2.设随机变量 X 的分布列如下表,且 E(X)=1.6,则 a-b 等于( )

X 0 12 3 P 0.1 a b 0.1

A.0.2

B.0.1

C.-0.2

D.-0.4

解析:选 C 由 0.1+a+b+0.1=1,得 a+b=0.8.

又由 E(X)=0×0.1+1×a+2×b+3×0.1=1.6,

得 a+2b=1.3,

解得 a=0.3,b=0.5,则 a-b=-0.2.

3.某射击运动员在比赛中每次击中 10 环得 1 分,击不中 10 环得 0 分.已知他击中 10

环的概率为 0.8,则射击一次得分 X 的期望是( )

A.0.2

B.0.8

C.1

D.0

解析:选 B 因为 P(X=1)=0.8,P(X=0)=0.2,所以 E(X)=1×0.8+0×0.2=0.8.

4.某一供电网络,有 n 个用电单位,每个单位在一天中使用电的机会是 p,供电网络

中一天平均用电的单位个数是( )

A.np(1-p)

B.np

C.n

D.p(1-p)

解析:选 B 依题意知,用电单位个数 X~B(n,p),

∴E(X)=np.

5.有 10 件产品,其中 3 件是次品,从中任取 2 件,用 X 表示取到次品的个数,则 E(X)

等于( )

A.35

B.185

C.1145

D.1

解析:选 A X 的可能取值为 0,1,2,P(X=0)=CC21270=175,P(X=1)=CC17C21013=175, P(X=2)=CC21230=115.

所以 E(X)=1×175+2×115=35.

6.一射手对靶射击,直到第一次命中为止,每次命中的概率为 0.6,现有 4 颗子弹,

命中后的剩余子弹数目 X 的数学期望为________.

解析:X 的可能取值为 3,2,1,0,

P(X=3)=0.6;P(X=2)=0.4×0.6=0.24;

P(X=1)=0.42×0.6=0.096;

P(X=0)=0.43=0.064.

所以 E(X)=3×0.6+2×0.24+1×0.096+0×0.064=2.376.

答案:2.376

7.某商场举行抽奖促销活动,抽奖的规则是:从装有 9 个白球、1 个红球的箱子中每

次随机地摸出 1 个球,记下颜色后放回,摸出 1 个红球可获得奖金 10 元;摸出 2 个红球可

获得奖金 50 元.现有甲、乙两位顾客,规定:甲摸 1 次,乙摸 2 次.令 X 表示甲、乙两人

摸球后获得的奖金总额,则 X 的数学期望是________.

解析:X 的所有可能的取值为 0,10,20,50,60.

P(X=0)=??190??3=1702090,

P(X=10)=110×??190??2+190×2×110×190=1204030,

P(X=20)=110×2×110×190=1 10800,

P(X=50)=190×1102=1

0900,P(X=60)=1103=1

1 000.

所以 E(X)=0×1702090+10×1204030+20×1 10800+50×1 0900+60×1 0100=3.3.

答案:3.3

8.某次考试中,第一大题由 12 个选择题组成,每题选对得 5 分,不选或错选得 0 分.小

王选对每题的概率为 0.8,则其第一大题得分的均值为________.

解析:设小王选对的个数为 X,得分为 Y=5X,

则 X~B(12,0.8),E(X)=np=12×0.8=9.6,

E(Y)=E(5X)=5E(X)=5×9.6=48.

答案:48

9.盒中装有 5 节同品牌的五号电池,其中混有 2 节废电池,现在无放回地每次取一节

电池检验,直到取到好电池为止.

求:(1)抽取次数 X 的分布列;

(2)平均抽取多少次可取到好电池.

解:(1)由题意知,X 取值为 1,2,3.

P(X=1)=35;

P(X=2)=25×34=130;

P(X=3)=25×14=110.

所以 X 的分布列为

X1

2

3

P

3 5

3 10

1 10

(2)E(X)=1×35+2×130+3×110=1.5,

即平均抽取 1.5 次可取到好电池.

10.某小组共 10 人,利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为 1,2,3 的人数

分别为 3,3,4.现从这 10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会.

(1)设 A 为事件“选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4”,求事件 A 发生的概率;

(2)设 X 为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量 X 的分布列和数学

期望.

解:(1)由已知,有 P(A)=C13CC14+ 210 C32=13. 所以事件 A 发生的概率为13.

(2)随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2. P(X=0)=C23+CC21230+C24=145, P(X=1)=C13C13C+210C13C41=175, P(X=2)=CC13C21014=145. 所以随机变量 X 的分布列为

X0

1

2

P

4 15

7 15

4 15

随机变量 X 的数学期望

E(X)=0×145+1×175+2×145=1.

层级二 应试能力达标

1.已知随机变量 X 的分布列为 X -1 0 1

P

1 2

1 3

m

若 Y=aX+3,E(Y)=73,则 a=( )

A.1

B.2

C.3

D.4

解析:选 B 由分布列的性质得12+13+m=1,

∴m=16.

∴E(X)=-1×12+0×13+1×16=-13.

∴E(Y)=E(aX+3)=aE(X)+3=-13a+3=73,

∴a=2.

2.甲、乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行学习,设两人所选课程相同的门

数为 X,则 E(X)=( )

A.1

B.1.5

C.2

D.2.5

解析:选 B 易知 X 的可能取值为 0,1,2,3,

则 P(X=0)=CC6633××CC3633=210, P(X=1)=C16C×36C×25C×36C23=290,

P(X=2)=C26C×36C×14C×36C13=290, P(X=3)=C36C×36C36=210,

故 E(X)=0×210+1×290+2×290+3×210=1.5.

3.设口袋中有黑球、白球共 7 个,从中任取 2 个球,已知取到白球个数的数学期望值

为67,则口袋中白球的个数为( )

A.3

B.4

C.5

D.2

解析:选 A 设白球 x 个,则黑球 7-x 个,取出的 2 个球中所含白球个数为 X,则 X

取值 0,1,2, P(X=0)=CC27-27 x=?7-x4??26-x?, P(X=1)=C1x·CC2717-x=x?72-1 x?, P(X=2)=CC2x27=x?x4-2 1?, ∴0×?7-x4?2?6-x?+1×x?72-1 x?+2×x?x4-2 1?=67,解得 x=3.

4.船队若出海后天气好,可获利 5 000 元;若出海后天气坏,将损失 2 000 元;若不

出海也要损失 1 000 元.根据预测知天气好的概率为 0.6,则出海效益的均值是( )

A.2 000 元

B.2 200 元

C.2 400 元

D.2 600 元

解析:选 B 出海效益的均值为

EX=5 000×0.6+(1-0.6)×(-2 000)=3 000-800=2 200 元.

5.设 p 为非负实数,随机变量 X 的概率分布为:

X

0

12

P

12-p

p

1 2

则 E(X)的最大值为________.

解析:由表可得???0≤21-p≤1, ??0≤p≤1,

从而得 p∈??0,12??,

期望值 E(X)=0×??12-p??+1×p+2×12=p+1,当且仅当 p=12时,E(X)最大值=32.
答案:32

6.节日期间,某种鲜花的进价是每束 2.5 元,售价是每束 5 元,节后对没有卖出的鲜 花以每束 1.6 元处理.根据前 5 年节日期间对这种鲜花需求量 X(束)的统计(如下表),若进 这种鲜花 500 束在今年节日期间销售,则利润的均值是________元.

X 200 300 400 500 P 0.20 0.35 0.30 0.15

解析:节日期间这种鲜花需求量的均值为

E(X)=200×0.20+300×0.35+400×0.30+500×0.15=340(束).

设利润为 Y,则 Y=5X+1.6×(500-X)-500×2.5=3.4X-450,

所以 E(Y)=3.4E(X)-450=3.4×340-450=706(元).

答案:706

7.端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有 10 个粽子,其中豆沙粽 2 个,肉

粽 3 个,白粽 5 个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取 3 个.

(1)求三种粽子各取到 1 个的概率;

(2)设 X 表示取到的豆沙粽个数,求 X 的分布列与数学期望.

解:(1)令 A 表示事件“三种粽子各取到 1 个”, 则由古典概型的概率计算公式有 P(A)=C12CC31130C51=14. (2)X 的所有可能值为 0,1,2,且 P(X=0)=CC31380=175,P(X=1)=CC12C31028=175, P(X=2)=CC22C31018=115. 综上知,X 的分布列为

X0

1

2

P

7 15

7 15

1 15

故 E(X)=0×175+1×175+2×115=35(个).

8.某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会,拟邀请 20 名来自本校机械 工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加,各学院邀请的学生数如下表所示:

学院 人数

机械工程学院 4

海洋学院 6

医学院 4

经济学院 6

(1)从这 20 名学生中随机选出 3 名学生发言,求这 3 名学生中任意两个均不属于同一学

院的概率;

(2)从这 20 名学生中随机选出 3 名学生发言,设来自医学院的学生数为 X,求随机变量

X 的分布列和数学期望. 解:(1)从 20 名学生随机选出 3 名的方法数为 C320,选出 3 人中任意两个均不属于同一
学院的方法数为 C14C61C14+C14C16C16+C14C14C16+C16C14C61=480, 所以 P=4C83200=189. (2)X 可能的取值为 0,1,2,3. P(X=0)=CC313260=2587, P(X=1)=CC21632C0 14=189, P(X=2)=CC11632C0 24=985, P(X=3)=CC32340=2185. 所以 X 的分布列为

X0

1

2

3

P

28 57

8 19

8 95

1 285

所以 E(X)=5278×0+189×1+985×2+2185×3=5975.



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